20、21题求解.实在是数学太差看不懂
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/02 15:42:24
20、21题求解.实在是数学太差看不懂
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20.若x->0时,√(1+tanx)-√(1+sinx∽x^α/4,则α=
分子有理化:
√(1+tanX)-√(1+sinX)=
(√(1+tanX)-√(1+sinX))(√(1+tanX)+√(1+sinX))/(√(1+tanX)+√(1+sinX))
=(tanX-sinX)/(√(1+tanX)+√(1+sinX))
当X趋于0时,分母(√(1+tanX)+√(1+sinX))趋于2,
所以只需要考虑tanX-sinX∽(1/4)X^α.
而tanX-sinX=sinX*(cosX-1)/cosX,当 X趋于0时,cosX趋于1,所以只需要考虑
sinX*(cosX-1)∽(1/4)X^α.明显sinX∽X,cosX-1=-2*sin(X/2)^2∽X^2,
所以sinx*(cosX-1)∽X^3,
∴α=3.
21.(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)
=(x→0^+)limsin√x/2√x/(x→0^+)lime^x(1+x)/(1+xe^x) [洛必达法则]
分子中:(x→0^+)limsin√x/√x=1 [sin√x和√x是等价无穷小量]
∴分子:(x→0^+)limsin√x/2√x=1/2.
显然分母的极限是1,
∴(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)=1/2.
分子有理化:
√(1+tanX)-√(1+sinX)=
(√(1+tanX)-√(1+sinX))(√(1+tanX)+√(1+sinX))/(√(1+tanX)+√(1+sinX))
=(tanX-sinX)/(√(1+tanX)+√(1+sinX))
当X趋于0时,分母(√(1+tanX)+√(1+sinX))趋于2,
所以只需要考虑tanX-sinX∽(1/4)X^α.
而tanX-sinX=sinX*(cosX-1)/cosX,当 X趋于0时,cosX趋于1,所以只需要考虑
sinX*(cosX-1)∽(1/4)X^α.明显sinX∽X,cosX-1=-2*sin(X/2)^2∽X^2,
所以sinx*(cosX-1)∽X^3,
∴α=3.
21.(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)
=(x→0^+)limsin√x/2√x/(x→0^+)lime^x(1+x)/(1+xe^x) [洛必达法则]
分子中:(x→0^+)limsin√x/√x=1 [sin√x和√x是等价无穷小量]
∴分子:(x→0^+)limsin√x/2√x=1/2.
显然分母的极限是1,
∴(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)=1/2.