杨辉三角中的数学规律
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 17:09:21
杨辉三角中的数学规律
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与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理.
例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,
即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2
第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数
即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
以此类推.
又因为性质6:第n行的m个数可表示为C(n,m-1),即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数.因此可得出二项式定理的公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学.求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”.
例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,
即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2
第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数
即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
以此类推.
又因为性质6:第n行的m个数可表示为C(n,m-1),即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数.因此可得出二项式定理的公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学.求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”.