求助一个有关欧拉积分的问题
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/04 16:06:52
求助一个有关欧拉积分的问题
其中0 < α + 1 < β
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/eb/4ebf80948d88e7eea2a973d2b7bc0995.jpg)
其中0 < α + 1 < β
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令x^b=y,x=y^(1/b),dx=1/b*y^(1/b-1)dy,
原积分=1/b积分(从0到无穷)y^((1+a)/b-1)dy/(1+y)
再令y=t/(1-t),t=0对应y=0,t=1对应y=无穷,dt/(1-t)^2=dy
于是
=1/b*积分(从0到1)t^((1+a)/b-1)*(1-t)^(-(a+1)/b)dt
=1/b*B((1+a)/b,1-(1+a)/b)
=1/b*G((1+a)/b,1-(1+a)/b)
=pi/【bsin((1+a)pi/b)】
其中B是Beta函数,G是Gamma函数.
再问: 再令y=t/(1-t), 能问下这步是怎么想到的吗?还是就是经验…… Euler积分的换元完全无思路……
再答: 这个是需要记住的,对Beta函数来说,可以说只有两个需要记住的变量替换, y=t/(1-t),y=1/(1-t)。实际上两个是一样的,建议你将Beta函数做 t=y/(1+y)或者t=1/(1+y)的两个变量替换做一下,你就知道Beta函数做完 上面的变量替换后的形式了,以后遇到此类的积分题,肯定是这种的变量替换。
原积分=1/b积分(从0到无穷)y^((1+a)/b-1)dy/(1+y)
再令y=t/(1-t),t=0对应y=0,t=1对应y=无穷,dt/(1-t)^2=dy
于是
=1/b*积分(从0到1)t^((1+a)/b-1)*(1-t)^(-(a+1)/b)dt
=1/b*B((1+a)/b,1-(1+a)/b)
=1/b*G((1+a)/b,1-(1+a)/b)
=pi/【bsin((1+a)pi/b)】
其中B是Beta函数,G是Gamma函数.
再问: 再令y=t/(1-t), 能问下这步是怎么想到的吗?还是就是经验…… Euler积分的换元完全无思路……
再答: 这个是需要记住的,对Beta函数来说,可以说只有两个需要记住的变量替换, y=t/(1-t),y=1/(1-t)。实际上两个是一样的,建议你将Beta函数做 t=y/(1+y)或者t=1/(1+y)的两个变量替换做一下,你就知道Beta函数做完 上面的变量替换后的形式了,以后遇到此类的积分题,肯定是这种的变量替换。