一元实值函数满足介值性但不连续的函数举例

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 17:15:49

一元实值函数满足介值性但不连续的函数举例
麻烦举例前好好验证你举的函数是不是满足介值性,实不想和人争论这种问题,有辱彼此智商.
介值性的定义：设f(x)是定义在闭区间[a,b]上的实函数,对于任意x1,x2∈[a,b],若f(x1)如若我的定义错了,请指出.

满足介值性但不连续,所以函数一定有间断点,而且只可能是振荡型间断点
举例 y= sin(1/x) ,x 不等于0
0 （随便给一个 [-1,1]之间的数都行） x 等于0
注意到sin(1/x) 在x不等于0处连续
（1）[a,b] 不包含0 时,y在[a,b]上是连续函数,自然是介值函数,
（2）[a,b] 包含0 时,对任意的t >0,y在 [0,t]上都可取到 [-1,1]的所有值,对给定的b>0,总存在0=0时,对sin(1/x) ,有2kπ< 1/x 0,都存在 k0 ,使1/2k0π 0,y 在 [0,t]上都可取到 [-1,1]的所有值
再问：你答的真的好负责！多谢多谢！不过我想多问一句，振荡型间断点是怎么定义的？放心，我会追加分给你，不会让你白白多答一问。
再答：真正严格的定义我也不知道，你可以查查书，不过我看过的书里还没有出现过。可以帮助理解但算不上定义的定义是：当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次这算不上定义是因为常数与无限多次两个词对于常数，考虑y= （x +1）* sin(1/x) 的形状， y=a*sinx中，a是振幅，现在令a=x+1 ，a依然是振幅，不过是可变振幅，但振幅是不影响振荡周期的。对x+1， x不同时，x+1必不同。y= （x +1）* sin(1/x)，在 -（x +1）到（x +1）间振荡，x +1 显然不是常数，但 x =0 依然是该函数的振荡间断点。对于无限多次，考虑 y=sinx ，当x趋于 0时，y也变了无穷多次，y一直在变，只不过变化很小而已而且对振荡间断点，函数在该点附近必然变动无限多次，但反过来呢，函数在该点附近变动无限多次，我们就能保证它是振荡间断点吗？振荡间断点只是特殊的第二类间断点考虑函数在一点的左极限和右极限，左右极限都存在的是第一类间断点，左右极限至少有一个不存在的是第二类间断点。第二类间断点括无穷间断点，如 y= 1/x ，在 x=0点，和振荡间断点，但除此之外还有没有其他类型的第二类间断点我也不知道。比如 y = sin(1/x) x< 0 0 x=0 1/x x>0 这个 x =0 是算无穷间断点还是算振荡间断点呢？（反正肯定是第二类间断点）振荡间断点严格的概念不用去深究，只要理解就行，因为这不是数学分析中的核心概念，不需要花太多时间。但要注意无穷的概念， sin(1/x) 是因为 1/x 趋于无穷才产生了特殊性质，无穷间断点也是与无穷有关，以后你还会遇到无穷，它是一个非常重要的概念（不过也很抽象很难理解）鉴于我对数学的喜爱，能帮你理解就够了，加分什么的不重要

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