初中几何题：已知,在△ABC中,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC边于点M······

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 22:48:12

初中几何题：已知,在△ABC中,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC边于点M······
初中几何题：已知,在△ABC中,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC边于点M,∠BCA的邻补角的平分线交AB边的延长线与点P,连接MP,交边BC于点K,试求∠AKM的度数.

延长MB至D,使AB＝DB.
∵∠ABC=120°,∴∠PBC＝60°,又∠DBP＝∠ABM,而∠ABM＝∠ABC/2＝60°,
∴∠DBC＝120°,∴∠ABC＝∠DBC.
由AB＝DB,BC＝BC,∠ABC＝∠DBC,得：△ABC≌△DBC,∴∠ACB＝∠DCB.
取AC延长线上任一点E.
由∠DBP＝60°,∠PBC＝60°,得：∠DBP＝∠PBC,又∠PCB＝∠PCE,
∴点P是△BCM的一个旁切圆圆心,∴∠BMK＝∠CMK.
∵∠CBM＝∠ABC/2＝60°,∠PBC＝60°,∴∠CBM＝∠PBC,结合证得的∠BMK＝∠CMK,
得：点K是△ABC的一个旁切圆圆心,∴∠BAK＝∠CAK.
由三角形外角定理,有：∠BMC＝∠ABM＋∠BAM,∴∠ABM＝∠BMC－∠BAM＝60°.
∴（∠BMC－∠BAM）/2＝30°.
于是：∠AKM＝∠KMC－∠KAM＝∠BMC/2－∠BAC/2＝（∠BMC－∠BAM）/2＝30°.

再问：为什么∠PCB=∠PCE？具体说一下，谢谢。
再答： ∠BCE是∠BCA的邻补角，而PC是∠BCE的平分线，∴∠PCB＝∠PCE。
再问：为什么∠BMK＝∠CMK，我对旁切圆圆心这个概念不太懂。
再答：三角形一内角的平分线与另两角的外角平分线的交点就是该三角形的旁切圆圆心，对任意一个三角形来说，有三个旁切圆。每个旁切圆切该三角形一边和另两边的延长线。具体的情况请你看链接资料。http://baike.baidu.com/view/1392472.htm

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