如何证明三角形三边上的高线交于一点
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 18:27:42
如何证明三角形三边上的高线交于一点
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证明:在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF.
显然ΔABE∽ΔACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD=AO2*AD,
∴AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,
∴三角形ABC得三条高交于一点O.
显然ΔABE∽ΔACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD=AO2*AD,
∴AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,
∴三角形ABC得三条高交于一点O.